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贝特朗悖论是什么?得出三种不同结果(但算法正确)

贝特朗曾经在1899年提出了一个悖论就是,假设一个内接圆的等边三角形中,任意选择一条弦,那么这条弦长于等边三角形边长的几率有多大?但结果却并不是唯一的,分别利用三种方法解答出了二分之一、三分之一和四分之一,可以说它们都完全正确但相互矛盾,因此就形成了一个悖论

贝特朗悖论正确答案

贝特朗悖论是什么?得出三种不同结果(但算法正确)插图

贝特朗悖论中并没有规定弦的位置、方向等,所以一共可以分为三种情况进行解答,第一种解法是先预设弦的方向,可以做出垂直于这条弦的直径,而计算出只有交于直径的四分之一和四分之三处的弦才是等于边长的,因此计算出概率为二分之一。而第二种方法则是预设了弦的一端,只有当弦与这个端点的切线交角为60-120度的时候才能等边,而概率就是三分之一。

贝特朗悖论是什么?得出三种不同结果(但算法正确)插图1

当然还有第三种解法,也是目前课本中最常用的解法,主要是根据弦的中点来看,只有弦的中心点能够落在比本圆半径小一半的同心圆上就能等长,因此这时的概率则只有四分之一。所以三种结果都不相同,但几乎都没有计算错误,其实也都是因为它的前提是不同的,在出题的时候,其中“等可能”的词汇会产生误导,这其实和芝诺悖论有得一拼。

贝特朗悖论的类似解释

贝特朗悖论是什么?得出三种不同结果(但算法正确)插图2

其实这一悖论就是最初贝特朗用来反思几何学运算概率学到底是否合适的,其实这一悖论还有另外的一种版本。假设有1、2、3号箱子,其中1号有2根金条,2号有两根银条,3号有1根金条1根银条,打开一个隔间是金条,而打开另一个隔间也是金条的概率有多少?相信一般人都会认为是二分之一。

贝特朗悖论是什么?得出三种不同结果(但算法正确)插图3

但实际上正确答案却是三分之二,因为我们可以看到2号箱子中只有银条,所以可以立即将它排除掉,而只剩下另外的1号和3号是有可能的,所以总的来说应该是三个箱子中有两个是可能的,所以这也是贝特朗悖论中最为简单的一个理解方式。

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